抽象函数问题及解法

如果一个关于函数f(x)的题目，已知f(x)的性质及f(x)满足的关系式，求证f(x)的其他性质， 题目做完了，我们还不知道f(x)的具体的解析式，这就是抽象函数问题.

一般地，抽象函数是指没有（直接或间接）给出具体的解析式，只给出一些函数符号及其满足某些条件的函数.

解决抽象函数问题，我们可以用函数性质、特殊化、模型函数、联想类比转化、数形结合等多种方法.

（1）函数性质法.

函数的特征是通过其性质（如单调性、奇偶性、周期性、特殊点等）反映出来的，抽象函数也如此. 我们可以综合利用上述性质，包括借助特殊点布列方程等来解决抽象函数问题.

（2）特殊化法.

特殊化法又叫特取法. 为达到我们预期的目的，将已知条件进行适当的变换，包括式子的整体变换与具体数字的代换. 如在研究函数性质时，一般将x换成-x或其他代数式；在求值时，用赋值法，常用特殊值0，1，-1代入.

（3）模型函数法.

模型函数在解决抽象函数问题中的作用非同小可. 一方面，可以用借助具体的模型函数解答选择题、填空题等客观题. 另一方面，可以用“特例探路”，联想具体的模型函数进行类比、猜想，为解答题等主观题的解决提供思路和方法. 一般地，抽象函数类型有以下几种：

①满足关系式

f(x+y)=f(x)+f(y) （ⅰ）

的函数f(x)是线性型抽象函数. 其模型函数为正比例函数f(x)=kx(k≠0).

事实上，f(x+y)=k(x+y)=kx+ky=f(x)+f(y).

令x=y=0，得f(0)=0，故f(x)的图象必过原点.

令y=-x，得0=f(0)=f(x)+f(-x)，即f(-x)=-f(x)，所以f(x)为奇函数.

命题（ⅰ）可以推广为f(x+y)=f(x)+f(y)+b(b是常数），其模型函数为一次函数f(x)=kx-b(k≠0).

②满足关系式

f(x+y)=f(x) f(y) （ⅱ）

的函数f(x)是指数型抽象函数. 其模型函数为指数函数f(x)=ax(a>0，a≠1）.

事实上，f(x+y)=ax+y=ax·ay=f(x) f(y).

令x=y=0，得f(0)=1，故曲线f(x)必过点(0，1).

命题（ⅱ）等价于f(x-y)=.

③满足关系式

f(xy)=f(x)+f(y) (x，y∈R+) （ⅲ）

的函数f(x)是对数型抽象函数. 其模型函数为对数函数f(x)=logax (a>0，a≠1）.

令x=y=1，得f(1)=0，故曲线f(x)必过点(1，0).

命题（ⅲ）等价于f( )=f(x)-f(y) (x，y∈R+) .

④满足关系式

f(xy)=f(x) f(y)

的函数f(x)是幂型抽象函数. 其模型函数为幂函数f(x)=xn.

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祝您 一切都好，数学更是棒棒哒！

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