等比数列怎么求和 等比数列求和公式
在数学中解决问题,通常公式是很重要的一部分,记住公式可以很方便的去解决问题,大大减少了工作量和工作时间,一个公式就可以解决一类问题,那么,等比数列求和公式是什么呢?如下是美丽的编辑为大伙儿收集整理的《等比数列怎么求和》,希望可以帮助到有需要的朋友。
一、等比数列求和公式推导
由等比数列定义
a2=a1*q
a3=a2*q
a(n-1)=a(n-2)*q
an=a(n-1)*q 共n-1个等式两边分别相加得
a2+a3+...+an=[a1+a2+...+a(n-1)]*q
即Sn-a1=(Sn-an)*q,即(1-q)Sn=a1-an*q
当q≠1时,Sn=(a1-an*q)/(1-q)(n≥2)
当n=1时也成立。
当q=1时Sn=n*a1
所以Sn=n*a1(q=1);(a1-an*q)/(1-q)(q≠1)。
错位相减法
Sn=a1+a2+a3+...+an
Sn*q=a1*q+a2*q+...+a(n-1)*q+an*q=a2+a3+...+an+an*q
以上两式相减得(1-q)*Sn=a1-an*q
数学归纳法
证明:(1)当n=1时,左边=a1,右边=a1·q0=a1,等式成立;
(2)假设当n=k(k≥1,k∈N*)时,等式成立,即ak=a1qk-1;
当n=k+1时,ak+1=ak·q=a1qk=a1·q(k+1)-1;
这就是说,当n=k+1时,等式也成立;
由(1)(2)可以判断,等式对一切n∈N*都成立。
二、等比数列前n项和公式
公式中a1为数列首项,q为等比数列的公比,Sn为前n项和。
三、特殊性质
①若m、n、p、q∈N,且m+n=p+q,则am×an=ap×aq;
②在等比数列中,依次每k项之和仍成等比数列;
③若m、n、q∈N,且m+n=2q,则am×an=(aq)^2;
④若G是a、b的等比中项,则G^2=ab(G≠0);
⑤在等比数列中,首项a1与公比q都不为零。
注意:上述公式中an表示等比数列的第n项。
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