2021-03-28 15:13:42文/李文源

　　平面向量是在二维平面内既有方向又有大小的量，与之相对的是只有大小、没有方向的数量（标量）。平面向量用a,b,c上面加一个小箭头表示，也可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示。那么平面向量公式都有什么？

　　设a=（x，y），b=(x'，y')。

　　1、向量的加法

　　向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。

　　AB+BC=AC。

　　a+b=(x+x'，y+y')。

　　a+0=0+a=a。

　　向量加法的运算律：

　　交换律：a+b=b+a；

　　结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

　　2、向量的减法

　　如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0

　　AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减”

　　a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y').

　　3、数乘向量

　　实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣?∣a∣。

　　当λ＞0时，λa与a同方向；

　　当λ＜0时，λa与a反方向；

　　当λ=0时，λa=0，方向任意。

　　当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。

　　注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。

　　实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。

　　当∣λ∣＞1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍；

　　当∣λ∣＜1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍。

　　数与向量的乘法满足下面的运算律

　　结合律：(λa)?b=λ(a?b)=(a?λb)。

　　向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.

　　数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.

　　数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。② 如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。

　　4、向量的的数量积

　　定义：已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π

　　定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作a?b。若a、b不共线，则a?b=|a|?|b|?cos〈a，b〉；若a、b共线，则a?b=+-∣a∣∣b∣。

　　向量的数量积的坐标表示：a?b=x?x'+y?y'。

　　向量的数量积的运算律

　　a?b=b?a（交换律）；

　　(λa)?b=λ(a?b)(关于数乘法的结合律)；

　　（a+b)?c=a?c+b?c（分配律）；

　　向量的数量积的性质

　　a?a=|a|的平方。

　　a⊥b 〈=〉a?b=0。

　　|a?b|≤|a|?|b|。

向量