2021-03-01 17:19:21文/陈宇航

　　一、三角形边角关系和三角形内角的三角函数关系式

　　1、在三角形中有

　　（1）大边对大角、大角对大边；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即$△ABC$中，$∠A>∠B Leftrightarrow a>b Leftrightarrow sin A>sin B$。

　　（2）任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

　　（3）$A+B+C=π$。

　　（4）三角形内角的三角函数关系式

　　①$sin A=sin {(B+C)}$，$cos A=-cos (B+C)$，$an A=-an (B+C)$。

　　②$sin frac{A}{2}$=$cos frac{B+C}{2}$，$cos frac{A}{2}=sin frac{B+C}{2}$。

　　③$sin 2A$=$-sin (2B+2C)$，$cos 2A=cos (2B+2C)$，$an 2A$=$-an (2B+2C)$。

　　④$sin A+sin B+sin C$=$4cosfrac{A}{2}$$cos frac{B}{2}$$cos frac{C}{2}$，$an A+an B+an C$=$an A$$an B$$an C$。

　　⑤$sin 2A$+$sin 2B$+$sin 2C$=4$sin A$$sin B$$sin C$，$cos 2A$+$cos 2B$+$cos 2C$=-1-4$cos A$$cos B$$cos C$。

　　2、在直角三角形中有

　　（1）直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

　　（2）在直角三角形中，两个锐角互余。

　　（3）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。

　　（4）直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。

　　（5）${m Rt}△ABC$中，$∠BAC=90°$，$AD$是斜边$BC$上的高，则有定理如下：

　　① $AD^2$=$BD$·$DC，$

　　② $AB^2$=$BD$·$BC$，

　　③ $AC^2$=$CD$·$BC$，

　　④$AB$·$AC$=$AD$·$BC$，

　　⑤直角三角形的外接圆的半径$R=frac{1}{2}BC$，

　　⑥直角三角形的内切圆的半径$r$=$frac{1}{2}(AB+AC-BC)$或$r$=$frac{AB·AC}{AB+BC+CA}$，

　　⑦等腰直角三角形三边之比为1∶1∶$sqrt{2}$。

　　二、三角形边角关系的相关例题

　　已知$α$是三角形的一个内角，且$sin α+cos α$=$frac{2}{3}$，则此三角形是

　　A．锐角三角形

　　B．直角三角形

　　C．钝角三角形

　　D．等腰三角形

　　答案：C

　　解析：由题设可知$α$是三角形的一个内角，则$sin α$>0，将$sin α$+$cos α$=$frac{2}{3}$两边平方可得1+2$sin αcos α$=$frac{4}{9}$，即$sin αcos α$=$-frac{5}{18}$<0$Rightarrow$$cos α$<0 ， 所以$frac{π}{2}<α<π$，即该三角形是钝角三角形，故选C。

角形